Il calcolo infinitesimale si sviluppa nel XVII secolo sulla base del metodo degli sviluppi delle serie infinite ed è probabilmente da accreditare ad Isaac Newton che espose i concetti fondanti per mezzo del metodo delle flussioni, intendendo le quantità infinitesimali come fluenti. Per contro, la terminologia ancora oggi in uso quale calcolo differenziale e calcolo integrale è sicuramente dovuta a Gottfried Leibniz. La trattazione sviluppata all’epoca usava il concetto intuitivo di infinitesimo quale numero infinitamente piccolo e tale approccio proseguì sino al XIX secolo, quando si stabilirono le prime correlazioni tra le diverse branche della matematica, in particolare tra gli aspetti discreti e quelli continui, che consentirono di giungere alla definizione di limite di una funzione con il solo ausilio dei numeri reali. Questo processo fu detto di aritmetizzazione dell’analisi di cui il primo trattato rigoroso è dovuto a Karl Weierstrass. L’esposizione di questo testo di Analisi Matematica segue l’impostazione consolidata della scuola italiana e, quindi, in questo primo volume si affrontano propedeuticamente le proprietà dei numeri reali per descrivere la teoria delle funzioni reali di una variabile reale. Il primo capitolo discute sinteticamente gli aspetti della teoria degli insiemi utili ad una trattazione sistematica dei numeri reali e cerca di rispondere alle necessarie esigenze di presentazione del simbolismo matematico e simultaneamente di fornire le elementari nozioni di logica matematica atte ad agevolare lo studio dei concetti sostanziali che seguiranno. I numeri reali, nel secondo capitolo, sono sia analizzati in contrapposizione ai loro sottoinsiemi numerici, evidenziandone analogie e differenze, che spiccatamente descritti come elementi multifunzioni per poter mirare ad una esemplificazione della trattazione delle proprietà delle funzioni reali, che rappresentano il fulcro di questo volume. I capitoli 3 e 4 sono rivolti allo studio della teoria delle successioni e delle serie numeriche. Si è cercato di discutere in maniera esaustiva la pletora di proprietà relativa ad entrambi gli argomenti. Non solo per agevolare la comprensione dei concetti riguardanti la teoria delle successioni numeriche si è ritenuto necessario fornire una seconda formulazione del teorema di Bolzano-Weierstrass (quella che solitamente è maggiormente accreditata), ma soprattutto per porre l’accento sull’impostazione seguita, avendo infatti dedotto le serie numeriche, e in particolare il relativo concetto di convergenza, direttamente dalla definizione di successione. I capitoli che vanno dal quinto all’ottavo coprono la teoria delle funzioni reali di una variabile reale. L’elemento attorno al quale si è impostata la presentazione delle proprietà delle funzioni reali è l’aspetto qualitativo della continuità. Per tale motivo si è molto insistito, nel capitolo 6, sulla presentazione dei numerosi risultati deducibili per le funzioni continue. Relativamente al calcolo differenziale ed integrale si è proceduto in maniera tradizionale, discutendo dapprima l’operazione di derivazione per una funzione e in seguito quella di integrazione; è bene sottolineare che il concetto di derivabilità, comunemente in uso, è stato scisso da quello di differenziabilità di una funzione, volendo fornire una definizione più generale di tale aspetto, distinguendo tra il significato geometrico e quello analitico. Riguardo alla teoria dell’integrazione si è preferito insistere soltanto su quella riconducibile a Riemann, rimandato al secondo volume una trattazione parallela con quella di Lebesgue. Nel testo di complementi ed esercizi sono presentati numerosi esempi per ciascuno degli argomenti discussi in questo volume e in particolare viene fornita una trattazione sistematica delle funzioni elementari.
Lezioni di Analisi Matematica Volume 1
CESARANO C
2012-01-01
Abstract
Il calcolo infinitesimale si sviluppa nel XVII secolo sulla base del metodo degli sviluppi delle serie infinite ed è probabilmente da accreditare ad Isaac Newton che espose i concetti fondanti per mezzo del metodo delle flussioni, intendendo le quantità infinitesimali come fluenti. Per contro, la terminologia ancora oggi in uso quale calcolo differenziale e calcolo integrale è sicuramente dovuta a Gottfried Leibniz. La trattazione sviluppata all’epoca usava il concetto intuitivo di infinitesimo quale numero infinitamente piccolo e tale approccio proseguì sino al XIX secolo, quando si stabilirono le prime correlazioni tra le diverse branche della matematica, in particolare tra gli aspetti discreti e quelli continui, che consentirono di giungere alla definizione di limite di una funzione con il solo ausilio dei numeri reali. Questo processo fu detto di aritmetizzazione dell’analisi di cui il primo trattato rigoroso è dovuto a Karl Weierstrass. L’esposizione di questo testo di Analisi Matematica segue l’impostazione consolidata della scuola italiana e, quindi, in questo primo volume si affrontano propedeuticamente le proprietà dei numeri reali per descrivere la teoria delle funzioni reali di una variabile reale. Il primo capitolo discute sinteticamente gli aspetti della teoria degli insiemi utili ad una trattazione sistematica dei numeri reali e cerca di rispondere alle necessarie esigenze di presentazione del simbolismo matematico e simultaneamente di fornire le elementari nozioni di logica matematica atte ad agevolare lo studio dei concetti sostanziali che seguiranno. I numeri reali, nel secondo capitolo, sono sia analizzati in contrapposizione ai loro sottoinsiemi numerici, evidenziandone analogie e differenze, che spiccatamente descritti come elementi multifunzioni per poter mirare ad una esemplificazione della trattazione delle proprietà delle funzioni reali, che rappresentano il fulcro di questo volume. I capitoli 3 e 4 sono rivolti allo studio della teoria delle successioni e delle serie numeriche. Si è cercato di discutere in maniera esaustiva la pletora di proprietà relativa ad entrambi gli argomenti. Non solo per agevolare la comprensione dei concetti riguardanti la teoria delle successioni numeriche si è ritenuto necessario fornire una seconda formulazione del teorema di Bolzano-Weierstrass (quella che solitamente è maggiormente accreditata), ma soprattutto per porre l’accento sull’impostazione seguita, avendo infatti dedotto le serie numeriche, e in particolare il relativo concetto di convergenza, direttamente dalla definizione di successione. I capitoli che vanno dal quinto all’ottavo coprono la teoria delle funzioni reali di una variabile reale. L’elemento attorno al quale si è impostata la presentazione delle proprietà delle funzioni reali è l’aspetto qualitativo della continuità. Per tale motivo si è molto insistito, nel capitolo 6, sulla presentazione dei numerosi risultati deducibili per le funzioni continue. Relativamente al calcolo differenziale ed integrale si è proceduto in maniera tradizionale, discutendo dapprima l’operazione di derivazione per una funzione e in seguito quella di integrazione; è bene sottolineare che il concetto di derivabilità, comunemente in uso, è stato scisso da quello di differenziabilità di una funzione, volendo fornire una definizione più generale di tale aspetto, distinguendo tra il significato geometrico e quello analitico. Riguardo alla teoria dell’integrazione si è preferito insistere soltanto su quella riconducibile a Riemann, rimandato al secondo volume una trattazione parallela con quella di Lebesgue. Nel testo di complementi ed esercizi sono presentati numerosi esempi per ciascuno degli argomenti discussi in questo volume e in particolare viene fornita una trattazione sistematica delle funzioni elementari.I documenti in IRIS sono protetti da copyright e tutti i diritti sono riservati, salvo diversa indicazione.
